定义在R上的可导函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(x-2)=f(x+2),且当x∈[2,4]时,f(x)=x^2+2xf'(2),则f(-0.5)与f(16/3)的大小关系是?
问题描述：
定义在R上的可导函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(x-2)=f(x+2),且当x∈[2,4]时,f(x)=x^2+2xf'(2),则f(-0.5)与f(16/3)的大小关系是?
答
f(-0.5)
答
由题意义在R上的可导函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（x﹣2）=f（x+2），故函数是一个偶函数，且周期为4又函数是可导函数，x∈[2，4]时，f（x）=x²+2xf′（2），故有f′（2）=2×2+2f′（2），得f′（2）=﹣4
所以x∈[2，4]时，f（x）=x²﹣8x，
f（﹣1/2）=f（﹣1/2+4）=49/4-28=-73/4，
f（16/3）=f（4/3）=f（-4/3）=f（-4/3+4）=f（8/3）=-128/9
所以有f（﹣1/2）＜f（16/3）
答
由f(-x)=f(x),f(x-2)=f(x+2)我们知道f(x)是偶函数且是周期为4的周期函数.f(x)=x^2+2xf'(2)求得f(x)=x^2-8x(x∈[2,4]),所以f(x)=x^2-16（x∈[0,2]）,又由f(-0.5)=f(0.5),f(4/3)=f(16/3),f(x)在（x∈[0,2]）单调递增!...