已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=−g(x)+n2g(x)+m是奇函数.(1)确定y=g(x)的解析式;(2)求m,n的值;(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

问题描述:

已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=

−g(x)+n
2g(x)+m
是奇函数.
(1)确定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

(1)∵指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,
∴g(x)=2x
(2)由(1)知:f(x)=

2x+n
2x+1+m
是奇函数.
因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即
n−1
2+m
=0
,∴n=1;
∴f(x)=
2x+1
2x+1+m
,又由f(1)=-f(-1)知
1−2 
4 +m
=−
1−
1
2
1 +m
,∴m=2;
(3)由(2)知f(x)=
2x+1
2x+1+2
=−
1
2
+
1
2x+1

易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因f(x)是奇函数,从而不等式:
f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
因f(x)为减函数,由上式推得:t2-2t>k-2t2
即对一切t∈R有:3t2-2t-k>0,
从而判别式△=4+12k<0,解得:k<
1
3

答案解析:(1)根据指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,即可求出y=g(x)的解析式;
(2)由题意知f(0)=0,f(1)=-f(-1),解方程组即可求出m,n的值;
(3)由已知易知函数f(x)在定义域f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.我们可将f(t2-2t)+f(2t2-k)<0转化为一个关于实数t的不等式组,解不等式组,即可得到实数t的取值范围.
考试点:函数解析式的求解及常用方法;奇偶性与单调性的综合.
知识点:本题考查的知识点:待定系数法求指数函数的解析式,函数的奇偶性和函数单调性的性质,其中根据函数的单调性将f(t2-2t)+f(2t2-k)<0转化为一个关于实数t的不等式组是解答本题的关键,体现了转化的思想,考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力,属中档题.