奇函数f(x)=m−g(x)1+g(x)的定义域为R,其中y=g(x)为指数函数且过点(2,4).(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)若对任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0解集非空,求实数k的取值范围.

问题描述:

奇函数f(x)=

m−g(x)
1+g(x)
的定义域为R,其中y=g(x)为指数函数且过点(2,4).
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0解集非空,求实数k的取值范围.

(Ⅰ)设g(x)=ax(a>0,a≠1),
则a2=4,∴a=2,
g(x)=2x,f(x)=

m−2x
1+2x

又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴
m−2−x
1+2−x
=−
m−2x
1+2x

整理得m(2x+1)=2x+1,∴m=1,
f(x)=
1−2x
1+2x

(Ⅱ)∵f′(x)=
2.2xln2
(1+2x)2
<0
,∴y=f(x)在R上单调递减. 
也可用f(x)=
2
1+2x
−1
为R上单调递减.   
要使对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0解集非空,
即对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)解集非空.
∵f(x)为奇函数,∴f(t2+2t+k)>f(2t2-2t+5)解集非空,
又∵y=f(x)在R上单调递减,∴t2+2t+k<2t2-2t+5,
当t∈[0,5]时有实数解,
∴k<t2-4t+5=(t-2)2+1当t∈[0,5]时有实数解,
而当t∈[0,5]时,1≤(t-2)2+1≤10,
∴k<10.
答案解析:(Ⅰ)设g(x)=ax(a>0,a≠1),代入点,即可得到g(x),再由奇函数的定义,即可得到m=1;
(Ⅱ)先判断f(x)的单调性,可运用导数或分离变量法,要使对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0解集非空,即对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)解集非空.再由奇函数和单调性的性质,运用分离参数方法,结合二次函数的最值,即可得到k的范围.
考试点:指数函数综合题;函数奇偶性的性质.

知识点:本题考查函数的奇偶性和单调性及运用:求函数的表达式和解不等式,考查运算能力,考查分离参数的方法,属于中档题和易错题.