答
(Ⅰ)设g(x)=ax(a>0,a≠1),
则a2=4,∴a=2,
∴g(x)=2x,f(x)=.
又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴=−,
整理得m(2x+1)=2x+1,∴m=1,
∴f(x)=;
(Ⅱ)∵f′(x)=<0,∴y=f(x)在R上单调递减.
也可用f(x)=−1为R上单调递减.
要使对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0解集非空,
即对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)解集非空.
∵f(x)为奇函数,∴f(t2+2t+k)>f(2t2-2t+5)解集非空,
又∵y=f(x)在R上单调递减,∴t2+2t+k<2t2-2t+5,
当t∈[0,5]时有实数解,
∴k<t2-4t+5=(t-2)2+1当t∈[0,5]时有实数解,
而当t∈[0,5]时,1≤(t-2)2+1≤10,
∴k<10.
答案解析:(Ⅰ)设g(x)=ax(a>0,a≠1),代入点,即可得到g(x),再由奇函数的定义,即可得到m=1;
(Ⅱ)先判断f(x)的单调性,可运用导数或分离变量法,要使对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0解集非空,即对任意的t∈[0,5],f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)解集非空.再由奇函数和单调性的性质,运用分离参数方法,结合二次函数的最值,即可得到k的范围.
考试点:指数函数综合题;函数奇偶性的性质.
知识点:本题考查函数的奇偶性和单调性及运用:求函数的表达式和解不等式,考查运算能力,考查分离参数的方法,属于中档题和易错题.