均值定理证明题已知a>0,b>0,c>0求证:a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc
问题描述：
均值定理证明题
已知a>0,b>0,c>0求证:a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc
答
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)
=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2≥4(ab^2*ac^2*bc^2*ba^2)的四次方根
ab^2*ac^2*bc^2*ba^2=a^4b^4c^4
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc
当ab^2=ac^2=bc^2=ba^2时取等号
显然，当a=b=c时，
ab^2=ac^2=bc^2=ba^2成立
所以等号可以取到
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc
答
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ac
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥2abc+2bac=4abc