如何证明均值定理?均值定理：已知x,y∈R+,x+y=S,x·y＝P (1)如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S有最小值； (2)如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P有最大值.或 当a、b∈R+,a+b=k（定值）时,ab≤((a+b)/2)2=k2/4 (定值）当且仅当a=b时取等号 当a、b、c∈R+,a + b + c = k（定值）时,abc≤((a+b+c)/3)3=k3/27 (定值） 当且仅当a=b=c时取等号.上面这个定理怎么证明?谁能给出证明过程?
问题描述：
如何证明均值定理?
均值定理：
已知x,y∈R+,x+y=S,x·y＝P
(1)如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S有最小值；
(2)如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P有最大值.
或
当a、b∈R+,a+b=k（定值）时,ab≤((a+b)/2)2=k2/4 (定值）当且仅当a=b时取等号
当a、b、c∈R+,a + b + c = k（定值）时,abc≤((a+b+c)/3)3=k3/27 (定值） 当且仅当a=b=c时取等号.
上面这个定理怎么证明?谁能给出证明过程?
答
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)
=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2≥4(ab^2*ac^2*bc^2*ba^2)的四次方根
ab^2*ac^2*bc^2*ba^2=a^4b^4c^4
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc
当ab^2=ac^2=bc^2=ba^2时取等号
显然，当a=b=c时，
ab^2=ac^2=bc^2=ba^2成立
所以等号可以取到
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc
答
(1)如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S有最小值；
S(x)=x+P/x (x>0)
由一阶导S'(x)=1-P/x^2=0得：x^2=P
此时一阶导S''(x)=-P/x^3