已知椭圆中心原点,焦点在x轴,过右焦点做倾角π/4的直线,交椭圆于P、Q,若OP垂直OQ,求此椭圆的离心率e

椭圆方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1
直线方程：y = x - c
其中b^2=a^2-c^2
联立得：(2a^2-c^2)x^2-2a^2*cx-a^4+2a^2*c^2=0
设P、Q坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)
P、Q为椭圆上的点，所以x1,x2为上述一元二次方程的两个根
因为OP垂直OQ
所以(y1/x1)*(y2/x2)=-1
即
y1y2+x1x2=0
其中
x1x2=(-a^4+2a^2*c^2)/(2a^2-c^2)
y1y2=(x1-c)(x2-c)=x1x2-c(x1+x2)+c^2=(-a^4+2a^2*c^2-c^4)/(2a^2-c^2)
所以
y1y2+x1x2
=(-a^4+2a^2*c^2)/(2a^2-c^2)+(-a^4+2a^2*c^2-c^4)/(2a^2-c^2)
=0
整理得：
2a^4-4a^2*c^2+c^4=0
在等式两边同时除以a^4有
2-4e^2+e^4=0
因为e所以
e^2=2-√2
e=√(2-√2)
ps：最后那个根号开不了……

1.椭圆方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1
直线方程：y = x - c
直线带入椭圆：整理,（1/a^2 + 1/b^2）x^2 - 2cx/b^2 + c^2/b^2 = 1
OP垂直OQ ,则
kop*koq = x1x2/y1y2 = x1x2/(cx1+cx2+x1x2+c^2) =-1
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