已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程; (2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,|OP||
问题描述:
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,
=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. |OP| |OM|
答
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,
由已知得
,解得a=4,c=3,
a−c=1 a+c=7
所以椭圆C的方程为
+x2 16
=1.y2 7
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].
由已知
=λ2及点P在椭圆C上,可得|OP|2
|OM|2
=λ2,9x2+112 16(x2+y2)
整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
①λ=
时,化简得9y2=112.3 4
所以点M的轨迹方程为y=±
(-4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.4
7
3
②λ≠
时,方程变形为3 4
+x2
112 16λ2−9
=1,y2
112 16λ2
其中x∈[-4,4];
当0<λ<
时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;3 4
当
<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;3 4
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.