答
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,
由已知得,解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].
由已知=λ2及点P在椭圆C上,可得=λ2,
整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
①λ=时,化简得9y2=112.
所以点M的轨迹方程为y=±(-4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.
②λ≠时,方程变形为+=1,
其中x∈[-4,4];
当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.
答案解析:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,由椭圆的性质可得从而解决.
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].由已知=λ2及点P在椭圆C上,可得=λ2,整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].再按照圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论.
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
知识点:本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程.考查分类讨论思想,是中档题.