已知函数f(x)=x2+2x+3,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是递减函数,求实数k的取值范围

问题描述:

已知函数f(x)=x2+2x+3,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是递减函数,求实数k的取值范围

f(x)=x^2+2x+3
g(x)=f(x)-kx=x^2+(2-k)x+3
g'(x)=2x+2-k
当x∈[-2,2]时,若g(x)=f(x)-kx是递减函数
g'(x)<0
k>2x+2
实数k的取值范围为k>6

g(x)=x^2+2x+3-kx g(-2)>g(2) ,将-2,2代入方程,得K>2

由题目,有g(x)=x^2+2x+3-kx
=x^2+(2-k)x+3
=[x+(2-k)/2]^2+3-(2-k)^2/4
由于g(x)的图象为开口向上的抛物线,且当x∈[-2,2]时,其为减函数
即说明 其对称轴-(2-k)/2≥2
即 k/2-1≥2
解得 k≥6 即为所求

K>=6