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在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2+b2−c2)．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:41:42
问题描述：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝

 3
4
(a2+b2−c2)．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

答

（Ⅰ） 由题意可知

1
2
absinC=
 3
4
×2abcosC．
所以tanC=
 3
．
因为0<C<π，
所以C=
π
3
；
（Ⅱ） 由已知sinA+sinB
=sinA+sin（π-C-A）
=sinA+sin（
2π
3
-A）
=sinA+
 3
2
cosA+
1
2
sinA=
3
2
sinA+
 3
2
cosA=
 3
sin（A+
π
6
）≤
 3
．
当△ABC为正三角形时取等号，
所以sinA+sinB的最大值是
 3
．
答案解析：（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得S＝
 3
4
(a2+b2−c2)=
1
2
absinC，可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C的值．
（2）根据三角形内角和为180°将角AB转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．
考试点：余弦定理的应用．
知识点：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．

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