已知方程x²+(a-3)x+3=0在实数范围内的解x1,x2,并且x1>1,x2>1,求a的取值范围

问题描述:

已知方程x²+(a-3)x+3=0在实数范围内的解x1,x2,并且x1>1,x2>1,求a的取值范围

方程x²+(a-3)x+3=0在实数范围内的解x1,x2,即Δ>0 得 (a-3)²-4*1*3>0 得a<3-2√3 或a>3+2√3
并且x1>1,x2>1
即(x1-1)+(x2-1)>0 , (x1-1)*(x2-1)>0
即 x1+x2>2 x1*x2-(x1+x2)>-1 ①
x1+x2=-(a-3)=3-a x1*x2=3
所以代入①,得
3-a>2 而且 3-(3-a)>-1
整理得 -1<a<1,综合上面的 a<3-2√3 或a>3+2√3
得,a的范围是(-1,3-2√3)

x1+x2=3-a,x1x2=3.
△=(a-3)^2-12>=0,
∴a>=3+2√3,或a(x1-1)+(x2-1)=1-a>0,a(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=a+1>0,a>-1.③
求①、②、③的交集,得
-1

首先保证方程有根,即Δ>0 得 (a-3)²-4*1*3>0 得a<3-2√3 或a>3+2√3在实数范围内的解x1,x2,并且x1>1,x2>1这个条件可以等价转化成为这样:(x1-1)+(x-1)>0 (x1-1)*(x2-1)>0即 x1+x2>2...