答
（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图1，连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=90°．
∴直线BD与⊙O相切．
（2）解法一：如图1，连接DE．
∵∠C=90°，BC=2，BD=
∴cos∠CBD＝＝．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°．
∴cosA＝．
∵∠CBD=∠A，
∴==．
∵AE=2AO，
∴=．
解法二：如图2，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH＝DH＝AD．
∴cosA＝
∵∠C=90°，BC=2，BD=
∴cos∠CBD＝＝．
∵∠CBD=∠A，
∴==．
∴=．
答案解析：（1）先断定直线BD与⊙O相切，再作证明：连接OD，由OA=OD，∠C=90°，得出∠A=∠ADO，∠CBD+∠CDB=90°，再由∠CBD=∠A，得出∠ADO+∠CDB=90°，∠ODB=90°，所以直线BD与⊙O相切；
（2）此题有两种解法：以解法一为例：连接DE，由∠C=90°，BC=2，BD=，求出cos∠CBD的值，然后由AE是⊙O的直径，得到∠ADE=90°，cosA＝．再由∠CBD=∠A，得到==，又因为AE=2AO，所以求的值就容易了．
考试点：切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
知识点：本题考查了切线的判断与性质、圆周角定理、以及解直角三角形的知识，此题综合性较强，做起来要认真、仔细才行．
C，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．