已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），那么ca2+1+ac2+1的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 12D. 3
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），那么
+c
a2+1
的最小值是（ ）a
c2+1
A. 1
B. 2
C.
1 2
D. 3
答
：∵二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴a＞0，△=4-4ac=0，
∴a＞0，c＞0，ac=1．
故
+c
a2+1
=a
c2+1
+c a(a+c)
=a c(a+c)
=
a2+c2 ac(a+c)
=（a+c）-
(a+c)2−2ac (a+c)
，2 (a+c)
故当a+c最小时，（a+c）-
最小．2 (a+c)
而a+c≥2
=2，故当a+c=2时，
ac
+c
a2+1
=（a+c）-a
c2+1
最小为2-1=1，2 (a+c)
故选A．
答案解析：利用二次函数的性质可得ac=1，且a和c都是正数，把要求的式子化为（a+c）-
，故当a+c最小时，（a+c）-2 (a+c)
最小为1，由基本不等式求得a+c的最小值为2，由此求得2 (a+c)
+c
a2+1
的最小值．a
c2+1
考试点：基本不等式；二次函数的性质．
知识点：本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．