已知二次函数f(x)=ax2+2x+c的值域是[0,+∞),那么ca2+1+ac2+1的最小值是( ) A.1 B.2 C.12 D.3
问题描述:
已知二次函数f(x)=ax2+2x+c的值域是[0,+∞),那么
+c
a2+1
的最小值是( )a
c2+1
A. 1
B. 2
C.
1 2
D. 3
答
:∵二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),
∴a>0,△=4-4ac=0,
∴a>0,c>0,ac=1.
故
+c
a2+1
=a
c2+1
+c a(a+c)
=a c(a+c)
=
a2+c2 ac(a+c)
=(a+c)-
(a+c)2−2ac (a+c)
,2 (a+c)
故当a+c最小时,(a+c)-
最小.2 (a+c)
而a+c≥2
=2,故当a+c=2时,
ac
+c
a2+1
=(a+c)-a
c2+1
最小为2-1=1,2 (a+c)
故选A.