设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明:

问题描述:

设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明:
(1)如果AB=0,则A=0
(2)如果AB=B,则A=E

1)由AB=0,得R(A)+R(B)《r.又R(B)=r,故R(A)《0.显然R(A)》0.故R(A)=0
既A=0
2)如果AB=B,则AB-B =0.即(A-E)B=0,R(B)+R(A-E)《r.又R(B)=r.故R(A—B)《0.故R(A—B)=0.故A—E=0即A=E