在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根．（1）求k的值；（2）若c=10，且a＞b，求a、b．
问题描述：
在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）若c=10，且a＞b，求a、b．
答
知识点：本题主要考查了根与系数的关系及互余两角函数的三角关系，难度较大，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．
（1）在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴tanA•tanB=1．
∴tanA•tanB=12k2-37k+26=1，
即12k2-37k+25=0，可得：k1=
，k2=1．25 12
又当k=1时，原方程为x2-x+1=0，其判别式△＜0，舍去．
∴k=
．25 12
（2）当k=
时，原方程为：x2− 25 12
x+1＝0．25 12
又tanA+tanB=
，∴25 12
+b a
=a b
=
a2+b2
ab
，25 12
∴a2+b2=c2=100．∴ab=48 ①
而a2+b2=（a+b）2-2ab=100，且a+b＞0．
∴a+b=14．②
由①②得：
或者
a＝8 b＝6
，
a＝6 b＝8
又a＞b，
则a=8，b=6．
答案解析：（1）因为三角形为直角三角形，并且tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可求解；（2）已知一条边c=10，且a＞b，根据互余两角三角函数的关系即可求解．
考试点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．
知识点：本题主要考查了根与系数的关系及互余两角函数的三角关系，难度较大，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．