在三角形ABC中,c=根号2+根号6,角C=30度,求a+b的范围

问题描述:

在三角形ABC中,c=根号2+根号6,角C=30度,求a+b的范围

【注:sin75º=sin(45+30)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√2+√6)/4.cos75º=cos(45+30)=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4】(1) 在⊿ABC中。由题设及正弦定理知,a/sinA=b/sinB=c/sinC=(√2+√6)/sin30º=2(√2+√6).===>a=2(√2+√6)sinA.b=2(√2+√6)sinB.===>a+b=2(√2+√6)(sinA+sinB).(2)由C=30º,A+B+C=180º.====>A+B=150º.且-150º<A-B<150º.====>(√6-√2)/4<cos[(A-B)/2]≤1.故由“和差化积”可得:sinA+sinB=2sin75ºcos[(A-B)/2]=[(√2+√6)/2]cos[(A-B)/2].∴a+b=(√2+√6)²cos[(A-B)/2].由(√6-√2)/4<cos[(A-B)/2]≤1,===>√2+√6<a+b≤(√2+√6)²=8+4√3.即a+b∈(√2+√6,8+4√3).

由余弦定理,
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2*根号3
即a^2+b^2-8-4倍的根号3=ab*根号3
化简得(a+b)^2=8+4倍的根号3+ab*(2+根号3)
由均值不等式
(a+b)^2得(a+b)^2故0

告诉你步骤好了= =
分两种情况1.c为直角边 则a为2c b的取值是c<b<3c 2c<a+b<4c
2.c为斜边 则a为1/2c b的取值是 1/2c<b<2/3c 2/3c<a+b<7/6c
把C值代入!