已知PA垂直圆O所在平面,AB为直径,C为圆周上不同于A.B的任一点,求证PC垂直CB要求需要涉及到三垂线定理

Rt三角形PAB中 PB^2=PA^2+AB^2
Rt三角形PAC中 PA^2+AC^2=PC^2
Rt三角形ACB中 AB^2-AC^2=BC^2
由以上三式相加得：
PB^2=PC^2+BC^2
所以PC与BC垂直

因为CB垂直于CA
PC垂直于CB
所以CB垂直于三角形PAC
所以CB垂直于PC

由题意可知 AC是PC的正投影 AC⊥BC 所以 PC⊥BC

PB^2=PA^2+AB^2
=PA^2+AC^2+BC^2
=PC^2+BC^2
所以三角形PCB为直角三角形，PB为斜边
所以PC⊥CB