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已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是______．

分类: 作业答案 • 2023-01-23 09:32:11
问题描述：

已知x＞0，y＞0且

1
x
+
9
y
=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是______．

答

∵x＞0，y＞0且

1
x
+
9
y
=1，
∴x+y=(x+y)(
1
x
+
9
y
)=10+
y
x
+
9x
y
≥10+2
y
x
•
9x
y
=16，当且仅当y=3x=12时取等号．
∵不等式x+y≥m恒成立⇔（x+y）min≥m．
∴m∈（-∞，16]，
故答案为：（-∞，16]．
答案解析：不等式x+y≥m恒成立⇔（x+y）min≥m．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
考试点：基本不等式．

知识点：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．

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