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已知m∈R，直线l：mx-（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2-8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为1/2的两段圆弧？为什么？

分类: 作业答案 • 2023-01-22 20:15:04

问题描述：

已知m∈R，直线l：mx-（m²+1）y=4m和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧？为什么？

答

（1）直线l的方程可化为y＝

m

m2+1

x−

4m

m2+1

，此时斜率k＝

m

m2+1

，
即km²-m+k=0，∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范围是[−

1

2

，

1

2

]．
（2）不能．由（1知l的方程为y=k（x-4），其中|k|≤

1

2

；
圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2；圆心C到直线l的距离d＝

2

1+k2

由|k|≤

1

2

，得d≥

4

5

＞1，即d＞

r

2

，
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于

2π

3

，
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧．