求证,对任意实数x1,x2都有(sinx2-sinx1)的绝对值小于等于(x2-x1)的绝对值
问题描述：
求证,对任意实数x1,x2都有(sinx2-sinx1)的绝对值小于等于(x2-x1)的绝对值
答
先证明一个结论：当0
当0
【解】
当|x2-x1|>2时,
因为|sinx2-sinx1|的最大值是2,
所以|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|成立.
当|x2-x1|≤2时,
|sinx2-sinx1|=2|cos((x2+x1)/2)sin((x2-x1)/2)|
因为|cos((x2+x1)/2)|≤1,
所以|sinx2-sinx1|≤2 |sin((x2-x1)/2)|=2sin|(x2-x1)/2|,
因为|(x2-x1)/2|∈(0,1)含于(0,π/2),
根据上面的结论有：|sin((x2-x1)/2)|∴|sinx2-sinx1|≤2sin|(x2-x1)/2|综上可知：对任意实数x1,x2,都有|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|.