已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集 _ .

问题描述:

已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集 ___ .

由f(x)的图象可知:当x<-1或x>1时,函数f(x)单调递增,∴f′(x)>0;当-1<x<1时,函数f(x)单调递减,f′(x)<0.
不等式(x2-2x-3)f′(x)<0可化为

x2-2x-3>0
f(x)<0
x2-2x-3<0
f(x)>0

化为
x>3或x<-1
-1<x<1
-1<x<3
x<-1或x>1

解得∅或1<x<3.
∴不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集是(1,3).
故答案为(1,3).