已知0＜a＜b，且a+b=1，则下列不等式①log2a＞-1；②log2a+log2b＞-2；③log2（b-a）＜0；④log2（ba+ab）＞1，其中一定成立的不等式的序号是（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④
问题描述：
已知0＜a＜b，且a+b=1，则下列不等式①log2a＞-1；②log2a+log2b＞-2；③log2（b-a）＜0；④log2（
+b a
）＞1，其中一定成立的不等式的序号是（ ）a b
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
答
因为 0＜a＜b，且 a+b=1，所以 2a＜a+b=1，a+b＜2b=1，即 a＜
，b＞1 2
．1 2
所以 0＜a＜
，1 2
＜b＜1．1 2
（1）因为 0＜a＜
，且 f（x）=log （2，x）在 （0，+∞） 上单调递增，1 2
所以 log2a＜log2
=-1．1 2
所以 不等式1 不成立．
（2）因为 0＜a＜b，由基本不等式，
＜
ab
=a+b 2
，即 ab＜1 2
．1 4
所以 log2ab＜log2
=-2．1 4
所以 不等式2 不成立．
（3）因为 a＞0，所以 b-a＜b＜1．
所以log2（b-a）＜log21=0．
所以 不等式3 成立．
（4）因为
＞1，0＜b a
＜1，a b
由基本不等式，
+b a
＞2a b
=2．
×b a
a b
所以 log2
+b a
＞log21=0．a b
所以 不等式4 成立．
综上，只有不等式3，4 成立．
故选：C．