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抛物线y＝−x22与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1， （1）求直线l的方程； （2）求抛物线y＝−x22与直线l围成的图形的面积．

分类: 作业答案 • 2023-01-20 12:50:26
问题描述：

抛物线y＝−

x2
2
与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1，
（1）求直线l的方程； （2）求抛物线y＝−
x2
2
与直线l围成的图形的面积．

答

（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），
所以联立直线与抛物线的方程可得：x2+2kx-2=0，
所以x1+x2=-2k，x1x2=-2，
因为OA和OB的斜率之和为1，即

y1
x1
+
y2
x2
＝1，
所以
kx1−1
x1
+
kx2−1
x2
=2k−
x1+x2
x1x2
＝1，
所以k=1，
所以直线方程为y=x-1．
（2）由（1）可得x1＝−1+
3
，x2＝−1−
3
，
所以|x1−x2| ＝2
3
，
因为S△AOB＝
1
2
×1×|x1-x2|，
所以S△AOB＝
3
．

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