如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°. (1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由. (2)若BC=2.求阴影部分的面积.(结果保留π的形式)

问题描述:

如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°.

(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若BC=2.求阴影部分的面积.(结果保留π的形式)

(1)CD与⊙O的位置关系是相切.
理由是:连接BD、OD,
∵∠AED=45°,
∴∠ABD=∠AED=45°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠CDB=45°,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD=45°,
∴∠ODC=45°+45°=90°,
∵OD为半径,
∴CD与⊙O的位置关系是相切;
(2)∵AB∥CD,∠ODC=90°,
∴∠DOB=90°=∠DOA,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=2,
在△AOD中,由勾股定理得:2AO2=22
AO=OD=OB=

2

∵S△AOD=
1
2
OA×OD=
1
2
×
2
×
2
=1,
S扇形BOD=
60π×(
2
)
2
360
=
2
3
π,
S平行四边形ABCD=AB×DO=2
2
×
2
=4,
∴阴影部分的面积是:4-1-
2
3
π=3-
2
3
π.