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如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若BC=2．求阴影部分的面积．（结果保留π的形式）

分类: 作业答案 • 2021-12-20 05:10:13
问题描述：

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若BC=2．求阴影部分的面积．（结果保留π的形式）

答

（1）CD与⊙O的位置关系是相切．
理由是：连接BD、OD，
∵∠AED=45°，
∴∠ABD=∠AED=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDB=45°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠ODC=45°+45°=90°，
∵OD为半径，
∴CD与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AB∥CD，∠ODC=90°，
∴∠DOB=90°=∠DOA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，
在△AOD中，由勾股定理得：2AO2=22，
AO=OD=OB=

 2
，
∵S△AOD=
1
2
OA×OD=
1
2
×
 2
×
 2
=1，
S扇形BOD=
60π×(
 2
)2
360
=
2
3
π，
S平行四边形ABCD=AB×DO=2
 2
×
 2
=4，
∴阴影部分的面积是：4-1-
2
3
π=3-
2
3
π．
答案解析：（1）接BD、OD，求出∠ABD=∠AED=45°，根据DC∥AB，推出∠CDB=45°，求出∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠AOD=∠BOD=90°，求出AO、OD，分别求出△AOD、扇形DOB、平行四边形ABCD的面积，相减即可求出答案．
考试点：切线的判定；平行四边形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算．
知识点：本题考查了切线的判定，扇形、三角形的面积，平行四边形性质的应用，解（1）的关键是求出∠ODC的度数，解（2）的关键是求出△AOD、扇形DOB和平行四边形的面积．

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