抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为y轴,C上动点P到直线l:3x+4y-12=0的最短距离为1,求抛物线C的方程.

问题描述:

抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为y轴,C上动点P到直线l:3x+4y-12=0的最短距离为1,求抛物线C的方程.

直线l:3x+4y-12=0的斜率k=-

3
4
,y轴上的截距:3,
抛物线如果开口向上,与直线l会相交,最短距离不会等于1,
所以抛物线开口向下,设其方程为:x2=-2py,(p>0)
抛物线上到直线l距离最短的点,是平行于l的抛物线的切线m的切点,
最短距离就是切线到l的距离.
设m的方程为3x+4y+q=0,令m和l的距离
|q+12||
9+16
=1,
求得q=-7或-17,q=-17在l下方,舍去.所以m:3x+4y-7=0.
与抛物线方程x2=-2py联立,代入得2x2-3px-7p=0,
只有一个公共点,△=9p2+56p=p(9p+56)=0,得P=
56
9

所以C的方程:x2=2(-
56
9
)y,
即 9x2+112y=0