设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24,将△ABC关于AC折至△AB'C,使边AB'交DC于P,设AB=a,AD=b,以AB所在直线为x轴,以A点为坐标原点建立坐标系
问题描述：
设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24,将△ABC关于AC折至△AB'C,使边AB'交DC于P,设AB=a,AD=b,以AB所在直线为x轴,以A点为坐标原点建立坐标系
(1).用a,b表示点B'的坐标;
(2).用a表示点P的坐标;
(3).求△ADP面积的最大值及取得最大值时a的值.
答
1)
A(0,0)B(a,0),D(0,b),C(a,b)AB'=a
令∠CAB=X,则∠BAB’=2X
sinx=b/√(a∧2+b∧2),cosx=a/√(a∧2+b∧2),
sin2x=2sinx*cosx=2ab/(a∧2+b∧2),
cos2x=1-2(sinx)∧2=(a∧2-b∧2)/(a∧2+b∧2),
B’（M,N）
M=a*cos2x=a(a∧2-b∧2)/(a∧2+b∧2),
n=a*sin2x=2*a∧2b/(a∧2+b∧2),
B'〔a(a∧2-b∧2)/(a∧2+b∧2),2*a∧2*b/(a∧2+b∧2〕
2）P（t,b）
AP=b/sin2x=(a∧2+b∧2)/(2a),
t=AP*cos2x=(a∧2-b∧2)/(2a)
P〔(a∧2-b∧2)/(2a),b〕
3)
S△ADP=AD*DP/2≤1/4*（AD∧2+DP∧2）
当AP=DP取最大值
(a∧2-b∧2)/(2a)=b,a+b=24/2
a=6√2,b=12-6√2
S△ADPmax=1/2*(12-6√2)∧2=36(3-2√2)
此时 a=6√2