设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*

问题描述:

设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*
(A*)-1表示A*的逆矩阵,(A-1)*表示A的逆矩阵的伴随阵

A可逆,所以|A|≠0,由 AA*=|A|I 得 |A*|≠0,所以 A* 可逆
要证明(A*)-1=(A-1)*,只需证明:A*×(A-1)*=I.
因为AA*=|A|I,(A-1)(A-1)*=|A-1|I,所以
A*=|A|(A-1),(A-1)*=|A-1|A
所以,A*×(A-1)*=|A|(A-1)×|A-1|A=|A|×|A-1|[(A-1)×A]=I
所以,(A*)-1=(A-1)*