设A为n阶矩阵,A^k=0,k>1为整数,证明En-A可逆,且(En-A)^(-1)=En+A+A^2+...+A^(k-1).

问题描述:

设A为n阶矩阵,A^k=0,k>1为整数,证明En-A可逆,且(En-A)^(-1)=En+A+A^2+...+A^(k-1).

因为(En-A){En+A+A^2+...+A^(k-1)}=En-A^k=En-0=En,
{En+A+A^2+...+A^(k-1)}(En-A)=En-A^k=En-0=En,
根据矩阵可逆的定义,可知En-A可逆,且(En-A)^(-1)=En+A+A^2+...+A^(k-1).