对于每个非零自然数n,抛物线y=x2-2n+1/n(n+1)x+1/n(n+1)与x轴交于An、Bn两点,以AnBn表示这两点间的距离,则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是_.
问题描述:
对于每个非零自然数n,抛物线y=x2-
x+2n+1 n(n+1)
与x轴交于An、Bn两点,以AnBn表示这两点间的距离,则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是______. 1 n(n+1)
答
y=x2-
x+2n+1 n(n+1)
=(x-1 n(n+1)
)(x-1 n
)1 n+1
故抛物线与x轴交点坐标为(
,0)和(1 n
,0)1 n+1
由题意,AnBn=
-1 n
1 n+1
那么,A1B1+A2B2…+A2009B2009
=(1-
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 2009
)1 2010
=1-
1 2010
=
.2009 2010