对于每个非零自然数n,抛物线y=x2-2n+1/n(n+1)x+1/n(n+1)与x轴交于An、Bn两点,以AnBn表示这两点间的距离,则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是_.

问题描述:

对于每个非零自然数n,抛物线y=x2-

2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
与x轴交于An、Bn两点,以AnBn表示这两点间的距离,则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是______.

y=x2-

2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
=(x-
1
n
)(x-
1
n+1

故抛物线与x轴交点坐标为(
1
n
,0)和(
1
n+1
,0)
由题意,AnBn=
1
n
-
1
n+1

那么,A1B1+A2B2…+A2009B2009
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
2009
-
1
2010

=1-
1
2010

=
2009
2010