已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数
问题描述：
已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数
答
由已知，m|m^2+n^2+m，所以 m|n^2，
设 n^2=km ，其中k为正整数，
则 mn|m^2+k^2*m^2+m，
所以 n|m+mk^2+1 ，
因此，n^2|(m+mk^2+1)^2 ，
即 km|m^2+m^2k^4+1+2m^2k^2+2m+2mk^2，
所以 km|m^2+1+2m
则 m|m^2+2m+1 ，所以 m|1 ，
由此知 m=1 ，为完全平方数。
答
题目有问题
答
mn│(m^2+n^2+m), 即m|n^2
n|(m^2+m)--> n|m(m+1), 因为m, m+1互质,所以需有：m=kn 或m+1=kn
当m+1=kn时,m=kn-1, 因为kn-1, n 互质,所以不可能m|n^2, 所以m+1不能为kn.
当m=kn时,由m|n^2得：k|n, 即n=kr, 因此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r(k^2r+r+1)
所以由mn|(m^2+n^2+1),得：kr|(k^2r+r+1), 因此r|1, 所以r=1.
故有：m=k^2为完全平方数.