设n是正整数，且是15的倍数，n=15m．已知m是完全平方数，120×n是完全立方数，36×n是完全5次方数，则n的最小值是_．
问题描述：
设n是正整数，且是15的倍数，n=15m．已知m是完全平方数，120×n是完全立方数，36×n是完全5次方数，则n的最小值是______．
答
∵120×15=23×32×52，
又∵n=15m，120×n是完全立方数，
即120×15m是完全立方数，
∴设m=23a×33b+1×53c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，
∵m是完全平方数，
∴设a=2d，b=（2e-1），b=（2f-1），
∴m=26d×36e-2×56f-2[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，
∴36×n=36×15m=22×33×51m=26d+2×36e+1×56f-1[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，
∵36×n是完全5次方数，
∴设d=5g+3，e=5h-1，f=5k-4，
∴36×n=230g+20×330h-5×530k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]
∴取最小值：g=0，h=k=1可得：36×n=220×325×55，
∴n=218×323×55．