如图,已知点A在双曲线y=6/x上,且OA=4,过A作AC⊥x轴于C,OA的垂直平分线交OC于B,则△AOC的面积=_;△ABC的周长为_.

问题描述:

如图,已知点A在双曲线y=

6
x
上,且OA=4,过A作AC⊥x轴于C,OA的垂直平分线交OC于B,则△AOC的面积=______;△ABC的周长为______.

∵点A在双曲线y=

6
x
上,过A作AC⊥x轴于C,
∴△AOC的面积=
1
2
|k|=3;
设点A的坐标为(x,y).
∵点A在第一象限,
∴x>0,y>0.
∵OA的垂直平分线交OC于B,
∴AB=OB,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=x+y.
∵点A在双曲线y=
6
x
上,且OA=4,
y=
6
x
x2+y2=16②

由①得,xy=6③,
③×2+②,得x2+2xy+y2=28,
∴(x+y)2=28,
∵x>0,y>0,
∴x+y=2
7

∴△ABC的周长=2
7

故答案为:3,2
7