设A是n阶实数矩阵,若对所有n维向量X,恒有X^TAX=0,证明：A为反对称矩阵
问题描述：
设A是n阶实数矩阵,若对所有n维向量X,恒有X^TAX=0,证明：A为反对称矩阵
答
X^TAX=0
(X^TAX)^T=X^T(A)^TX=0
X^TAX+X^T(A)^TX=0
X^T[A+(A)^T]X=0
因为A+(A)^T是实对称矩阵
所以A+(A)^T=0
(A)^T=-A
A为反对称矩阵
答
因为 A+A^T 是对称矩阵
且 X^T(A+A^T)X = X^TAX + X^TA^TX = X^TAX + (X^TAX)^T = 0
所以 A+A^T = 0
所以 A^T = -A
故A是反对称矩阵.