求线性变换在标准正交基下的矩阵设V是n维实内积空间,y 是V的单位向量,定义T:V→V,Tx=x-2(x,y)y,且已证明T为正交变换,求T在某个标准正交基下的矩阵.我是这样解的,不知对否,设y=(y1,y2,……yn),且（y1^2+y2^2+……+yn^2）^1/2=1T的某标准正交基为e1=(1,0,0……0),e2=(0,1,0……0)……en=(0,0……1)所以,Te1=e1-2(e1,y)y=(1-2(y1^1/2)y1,-2(y1^1/2)y2……-2(y1^1/2)yn)=(1-2(y1^1/2)y1)*e1-2(y1^1/2)y2*e2-……-2(y1^1/2)yn*en同理可求得其他,由此便得出矩阵.全部的分了,不知这种求法对否?
问题描述：
求线性变换在标准正交基下的矩阵
设V是n维实内积空间,y 是V的单位向量,定义T:V→V,Tx=x-2(x,y)y,且已证明T为正交变换,求T在某个标准正交基下的矩阵.
我是这样解的,不知对否,
设y=(y1,y2,……yn),且（y1^2+y2^2+……+yn^2）^1/2=1
T的某标准正交基为e1=(1,0,0……0),e2=(0,1,0……0)……en=(0,0……1)
所以,Te1=e1-2(e1,y)y=(1-2(y1^1/2)y1,-2(y1^1/2)y2……-2(y1^1/2)yn)
=(1-2(y1^1/2)y1)*e1-2(y1^1/2)y2*e2-……-2(y1^1/2)yn*en
同理可求得其他,由此便得出矩阵.
全部的分了,
不知这种求法对否?
答
设 e1,e2,...,en 是V的标准正交基设 y = k1e1+.+knen,则 (ei,y) = kiTe1 = e1-2(e1,y)y = e1 - 2k1 (k1e1+.+knen)= (1-2k1^2)e1 -2k1k2e2 - ...-2k1knenT(e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) (按上写出矩阵A)则 A = E -...