平面直角坐标系中,A(4,8)、C(0,6),过A点作AB⊥x轴于B,过OB上的动点D作DE∥AC交AB于E,连CD,过E点作EF∥CD交AC于点F.(1)求经过点A,C两点的直线解析式;(2)当点D在OB上移动时,能否使四边形CDEF成为矩形?若能,求出此时直线DE的解析式;若不能,说明理由.

问题描述:

平面直角坐标系中,A(4,8)、C(0,6),过A点作AB⊥x轴于B,过OB上的动点D作DE∥AC交AB于E,连CD,过E点作EF∥CD交AC于点F.

(1)求经过点A,C两点的直线解析式;
(2)当点D在OB上移动时,能否使四边形CDEF成为矩形?若能,求出此时直线DE的解析式;若不能,说明理由.

(1)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵A(4,8),C(0,6),

4k+b=8
b=6

解得
k=
1
2
b=6

∴直线AC的解析式为:y=
1
2
x+6;
(2)∵DE∥AC,直线AC的解析式为:y=
1
2
x+6,
∴可设直线DE的解析式为:y=
1
2
x+n.
设直线DE与y轴交于点M,则M(0,n),D(-2n,0).
如果四边形CDEF为矩形,则DE⊥CD,
∴∠OCD=∠ODM=90°-∠ODC,
又∵∠COD=∠DOM,
∴△COD∽△DOM,
∴OC:OD=OD:OM,
∴OD2=OC•OM,
∴(-2n)2=6|n|,
∵n<0,解得n=-
3
2

即直线DE的解析式为:y=
1
2
x-
3
2

故能使四边形CDEF为矩形,此时y=
1
2
x-
3
2

答案解析:(1)由已知A、C两点坐标,用待定系数求出解析式;
(2)先由DE∥AC,直线AC的解析式为:y=
1
2
x+6,根据两直线平行的性质可知直线DE的斜率与直线AC的斜率相等,即k=
1
2
,故可设直线DE的解析式为:y=
1
2
x+n,用含n的代数式表示出M、D两点的坐标.再假设四边形CDEF为矩形,易证△COD∽△DOM,根据相似三角形的对应边成比例,列出关系式,如果能够求出符合题意的n值,说明当点D在OB上移动时,能使四边形CDEF为矩形;否则就不能.
考试点:一次函数综合题.
知识点:此题考查运用待定系数求一次函数的解析式,相似三角形的判定与性质,矩形的性质,综合性较强,难度中等.