如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).

(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.

(1)①对称轴x=-

4
2
=-2;
②当y=0时,有x2+4x+3=0,
解之,得x1=-1,x2=-3,
∴点A的坐标为(-3,0).
(2)满足条件的点P有3个,分别为(-2,3),(2,3),(-4,-3).
(3)存在.
当x=0时,y=x2+4x+3=3
∴点C的坐标为(0,3),
∵DE∥y轴,AO=3,EO=2,AE=1,CO=3,
∴△AED∽△AOC
AE
AO
DE
CO
1
3
DE
3

∴DE=1.
∴S梯形DEOC=
1
2
(1+3)×2=4,
在OE上找点F,使OF=
4
3

此时S△COF=
1
2
×
4
3
×3=2,直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分,交抛物线于点M.
设直线CM的解析式为y=kx+3,它经过点F(-
4
3
,0).
则-
4
3
k+3=0,(11分)
解之,得k=
9
4

∴直线CM的解析式为y=
9
4
x+3.
答案解析:(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-
b
2a
,求得抛物线的对称轴,因为函数与X轴的交点是y=0,列方程即可求得;
(2)分别以AC,AB为对角线各可求得一点,再以AC,AB为边求得一点;
(3)首先可求得梯形DEOC的面积,根据题意:在OE上找点F,使OF=
4
3
,此时S△COF=
1
2
×
4
3
×3=2,直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分,交抛物线于点M,设直线CM的解析式为y=kx+3,它经过点F(-
4
3
,0),则-
4
3
k+3=0(11分)解之,得k=
9
4
∴直线CM的解析式为y=
9
4
x+3.
考试点:二次函数综合题.

知识点:此题属于中考中的压轴题,难度较大,知识点考查的较多而且联系密切,需要学生认真审题.此题考查了二次函数与一次函数,四边形的综合知识,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.