您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  已知a=（2，1+sinθ），b=（1，cosθ），命题p：“存在θ∈R，使a⊥b”，试证明命题p是假命题．

已知a=（2，1+sinθ），b=（1，cosθ），命题p：“存在θ∈R，使a⊥b”，试证明命题p是假命题．

分类: 作业答案 • 2023-01-17 16:35:55
问题描述：

已知

a
=（2，1+sinθ），
b
=（1，cosθ），命题p：“存在θ∈R，使
a
⊥
b
”，试证明命题p是假命题．

答

证明：反证法：假设存在θ∈R，使

a
⊥
b
，则有
a
•
b
=2+cosθ+sinθcosθ=2+cosθ+
1
2
sin2θ=0，
故有cosθ=-2-
1
2
sin2θ．
由于
1
2
sin2θ∈[-
1
2
，
1
2
]，∴cosθ≤-
3
2
，这和余弦函数的值域相矛盾，故假设不正确，
即命题p是假命题．

相关推荐