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用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)＝n(n+1)(n+2)(n+3)4(n∈N*)．

分类: 作业答案 • 2023-01-17 01:36:45
问题描述：

用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)＝

n(n+1)(n+2)(n+3)
4
(n∈N*)．

答

证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=

1×2×3×4
4
＝6=左边，∴等式成立．
（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)＝
k(k+1)(k+2)(k+3)
4
．  
则当n=k+1时，
左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
＝
k(k+1)(k+2)(k+3)
4
+(k+1)(k+2)(k+3)
＝(k+1)(k+2)(k+3)(
k
4
+1)＝
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
4
＝
(k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)
4
.

∴n=k+1时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．

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