椭圆E:x216+y24=1内有一点P(2,1),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为_.

问题描述:

椭圆E:

x2
16
+
y2
4
=1内有一点P(2,1),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为___

设所求直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),

x12
16
+
y12
4
=1,
x22
16
+
y22
4
=1

两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)
16
+
(y1+y2)(y1-y2)
4
=0

又x1+x2=4,y1+y2=2,
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=-
1
2

因此所求直线方程为y-1=-
1
2
(x-2),即x+2y-4=0.
故答案为:x+2y-4=0.