设f(x)=ln(x+1)+ax,(a∈R且a≠0). (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若a=1,证明:x∈[1,2]时,f(x)−3<1/x成立.

问题描述:

设f(x)=ln(x+1)+ax,(a∈R且a≠0).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若a=1,证明:x∈[1,2]时,f(x)−3<

1
x
成立.

(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f′(x)=

1
x+1
+a
当a>0时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,由f′(x)>0得−1<x<−
1
a
;由f′(x)<0得x>−
1
a

∴函数f(x)在(−1,−
1
a
)上是增函数,在(−
1
a
,+∞)
上是减函数;
(Ⅱ)a=1时,f(x)=ln(x+1)+x
要证x∈[1,2]时,f(x)−3<
1
x
成立,
即证明ln(x+1)+x-
1
x
-3<0在[1,2]上恒成立,
令g(x)=ln(x+1)+x-
1
x
-3,易得函数g(x)在x∈[1,2]时单调递增
∵g(1)=0,
则g(x)≥0
x∈[1,2]时,f(x)−3<
1
x
成立.