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在数列{an}中，a1=3，an+1=3an+3n+1．（1）设bn=an3n．证明：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

分类: 作业答案 • 2023-01-16 14:05:45
问题描述：

在数列{an}中，a1=3，an+1=3an+3n+1．
（1）设bn=

an
3n
．证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．

答

（1）an+1=3an+3n+1，
∴

an+1
3n+1
=
an
3n
+1，于是bn+1=bn+1，
∴{bn}为首项与公差均为1的等差数列．
又由题设条件求得b1=1，故bn=n，
由此得
an
3n
=n
∴an=n×3n．
（2）Sn=1×31+2×32+…+（n-1）×3n-1+n×3n，
3Sn=1×32+2×33+…+（n-1）×3n+n×3n+1，
两式相减，得2Sn=n×3n+1-（31+32+…+3n），
解出Sn=(
n
2
-
1
4
)3n+1+
3
4
．

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