在数列{an}中，a1=2，an＝2an−1+2n+1(n≥2，n∈N*)（1）令bn＝an2n，求证{bn}是等差数列；（2）在（1）的条件下，设Tn＝1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1，求Tn．
问题描述：
在数列{an}中，a1=2，an＝2an−1+2n+1(n≥2，n∈N*)
（1）令bn＝
，求证{bn}是等差数列；an 2n
（2）在（1）的条件下，设Tn＝
+1
b1b2
+…+1
b2b3
，求Tn． 1
bnbn+1
答
（1）证明：由an＝2an−1+2n+1得
＝an 2n
+2…（4分）an−1 2n−1
∴
−an 2n
＝2（n≥2）…（5分）an−1 2n−1
又bn＝
，∴b1=1，an 2n
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．…（6分）
（2）由（1）知bn=2n-1，∴
＝1
bnbn+1
=1 (2n−1)(2n+1)
(1 2
−1 2n−1
)…（9分）1 2n+1
∴Tn＝
(1−1 2
+1 3
−1 3
+…+1 5
−1 2n−1
)=1 2n+1
(1−1 2
)=1 2n+1
…（12分）n 2n+1
答案解析：（1）利用数列递推式，结合bn＝
，即可得到数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列；an 2n
（2）利用裂项法，即可求得数列的和．
考试点：数列递推式；数列的求和．
知识点：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的求和，解题的关键是正确运用数列递推式，合理运用数列的求和公式，属于中档题．