抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交,公共弦MN的长为25,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.

问题描述:

抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交,公共弦MN的长为2

5
,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.

∵抛物线与圆x2+y2=9相交,公共弦MN的长为2

5

∴设M(-
5
,m)、N(
5
,m).
将M、N坐标代入圆方程,得5+m2=9,解得m=±2(舍负),
∴M(-
5
,2)、N(
5
,2),或M(-
5
,-2)、N(
5
,-2),
设抛物线方程为x2=2ay(a≠0),
∵点M、N在抛物线上,
∴5=2a×(±2),解得2a=±
5
2

故抛物线的方程为x2=
5
2
y或x2=-
5
2
y.
抛物线x2=
5
2
y的焦点坐标为(0,
5
8
),准线方程为y=-
5
8

抛物线x2=-
5
2
y的焦点坐标为(0,-
5
8
),准线方程为y=
5
8