设a,b是实数,且a²-ab+b²=8,求a²+ab+b²的取值范围
问题描述：
设a,b是实数,且a²-ab+b²=8,求a²+ab+b²的取值范围
答
a²-ab+b²=8
a²-ab+b²
=(a-b)²+ab=8
ab=8-(a-b)²
-
(a-b)²≥0
8-(a-b)²=ab≤8
-ab≥-8
a²+ab+b²=a²-ab+b²+2ab=8+2ab≤8+2*8=24
a²+ab+b²≤24
a²+ab+b²
=(a+b)²-ab
≥0-8=-8
-
-8≤a²+ab+b²≤24
答
a²-ab+b²=8
ab=8-(a-b)²≤8
ab=[(a+b)²-8]/3≥-8/3
a²+ab+b²=8+2ab
8/3≤a²+ab+b²≤24
答
设 a=x+y, b=x-y.
则 a²-ab+b²=8=x^2+2xy+y^2-x^2+y^2+x^2-2xy+y^2=x^2+3y^2=8
而
a²+ab+b²=3x^2+y2=3(x^2+3y^2)-8y^2=24-8y^2=8/3 等号在x=0,即a=-b时成立.
===》
8/3