函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx． （I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件． （II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
问题描述：
函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx．
（I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件．
（II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
答
（I）函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax2+2x+1-lnx，
其定义域为（0，+∞）．
∴F‘(x)＝2ax+2−
=1 x
，2ax2+2x−1 x
∴F（x）有两个极值点，
∴方程2ax2+2x-1=0有两个不相等的正根，
∴
，
△＝4+8a＞0
x1+x2＝−
＞01 a
x1•x2＝−
＞01 2a
解得−
＜a＜0，1 2
∴F（x）有两个极值点的充要条件是−
＜a＜0．1 2
（II）证明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是：
F（x）=ax2+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥
在（0，+∞）上恒成立．lnx−(2x+1) x2
令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)＝
−2＝1 x
，1−2x x
当x∈(0，
)时，h′（x）＞0，1 2
当x∈(
，+∞)时，h′（x）＜0．1 2
∴x＝
时，h（x）max=ln1 2
−2＜0，1 2
故x∈（0，+∞），都有
＜0，lnx−(2x+1) x2
∴当a≥0时，a≥
在（0，+∞）上恒成立，lnx−(2x+1) x2
即当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．