已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数.当a≥2012时,求a的最小值.
问题描述:
已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数.当a≥2012时,求a的最小值.
答
设a-b=m(m是素数),ab=n2(n是正整数).
∵(a+b)2-4ab=(a-b)2,
∴(2a-m)2-4n2=m2,
即:(2a-m+2n)(2a-m-2n)=m2.
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),
∴2a-m+2n=m2,2a-m-2n=1,
解得:a=
,n=(m+1)2 4
,
m2−1 4
∴b=a-m=
,(m−1)2 4
∵a≥2012,
∴
≥2012,(m+1)2 4
∵m是素数,
解得:m≥89,
此时,a≥
=2025,(89+1)2 4
当a=2025时,m=89,b=1936,n=1980.
∴a的最小值为2025.