已知a、b是整数,且满足a-b是质数,ab是完全平方数,若a≥2011,求a的最小值

已知a、b是整数,且满足a-b是质数,ab是完全平方数,若a≥2011,求a的最小值
如题,我在网上找到了答案,不过看不懂,我把答案发上来：
a-b=p(质数),由辗转相除法的原理可得出结论：要么p是a,b的公约数,要么a,b互质.
如果p是a,b的公约数：令b=np,则a=b+p=(n+1)p,ab=n(n+1)p^2,n(n+1)不可能是完全平方数
如果a,b互质:由ab是完全平方数,可知,a和b都是完全平方数,令a是m的平方,b是n的平方,则a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是质数,所以m-n=1,m+n=p,sqrt(2011)>44,而45+44=89是一个素数,所以,a最小是45^2=2025,b只能是44^2=1936
假设A = (M+1)P、B = MP,A-B = P是素数的情况时,因M+1、M互质.
A*B = PM(M+1) 不可能为完全平方数.
因此由题意,A、B应分别是完全平方数、A-B为一素数.
A = M²
B = N²
M、N互质
A - B = (M+N)(M-N)=质数=M+N
则M-N = 1
这两个答案最终求出结果是正确的,但是我对其中2个有疑问,为什么辗转相除法能得到A,B各是完全平方数呢 ,答案2的第一条,A-B = P是素数的情况时,因M+1、M互质是为何成立 还有一点,a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是质数,所以m-n=1 这个我也不懂,a-b是质数,为什么m=n就是1呢,感激不尽