设函数f(x)可微且满足关系式:{积分符号从0到x }[2f(t)-1]=f(x)-1,求f(x)
问题描述:
设函数f(x)可微且满足关系式:{积分符号从0到x }[2f(t)-1]=f(x)-1,求f(x)
积分符号敲不上去,答案是f(x)=1/2 *(e^2x +1)
答
等式两边令x=0得f(0)=1
等式两边求导:2f(x)-1=f'(x)
令y=f(x),则y'=2y-1,此为一阶非齐次线性微分方程,套用通解公式可得通解y=1/2+Ce^(2x).所以f(x)=1/2+Ce^(2x),再由f(0)=1得C=1/2,所以f(x)=1/2[1+e^(2x)]